思考の論理的形式復習のページ
真理関数
ヒットラーはユダヤ人である ‥‥a
アインシュタインはユダヤ人である ‥‥b
aは手塚治虫の『アドルフに告ぐ』ではいざしらず、偽とみなすのが
常識である。それに対してbは真であろう。
ここで「ａでない」という命題の真偽すなわち真理値を考えてみると、「ａでない」は真である。aでないを￢ａ、真をＴ、偽を⊥と表記すると、
ａは⊥だから￢ａはＴとなる。逆にｂはＴだから￢bは⊥となる。
一般に命題をｐと表すと ￢ｐはｐがＴのとき ⊥
ｐが⊥のとき Ｔ となる。
これはちょうどｘ2はｘが１のとき１
ｘが０のとき０のようにｘの値に応じてｘ2の値が
一義的に対応するのと同様である。
￢ｐはｐの真理値に一義的に対応した真理値をもつという意味で
一種の関数とみなすことができる。
否定￢ｐのような関数のことを原子命題ｐの真理関数と呼ぶ。
基本的な真理関数には
￢ｐ (ｐでない)、ｐ∧ｑ (ｐかつｑ)、ｐ∨ｑ (ｐまたはｑ)、p→ｑ
(ｐならばｑ)、の四つがあり、これに(p→ｑ)∧(ｑ→ｐ)で定義されるｐ⇔ｑ
(ｐならばｐの時に限りｑ)を合せて数えることがある。
複雑な真理関数でも以上の5つの基本的な真理関数を組み合わせて定義される。
一般には原子命題の真偽すなわち真理値ｘ1、x2、‥‥xnから、原子命題によって構成される分子命題の真偽ｙへの関数のことを真理関数という。
真理表の書き方
￢、∧、∨、→、⇔の順で結合力が弱いと考える。
したがって((￢p)∨q)→(p∧q)は￢p∨q→p∧qと同じである。
括弧のなかから真理値を決定して行く。
￢p∨q→p∧qの場合では以下の通り。
| p | q | ￢p | ￢p∨q | p∧q | ￢p∨q→p∧q |
| T | T | ⊥ | T | T | T |
| T | ⊥ | ⊥ | ⊥ | ⊥ | T |
| ⊥ | T | T | T | ⊥ | ⊥ |
| ⊥ | ⊥ | T | T | ⊥ | ⊥ |
￢p∨q→p∧q のように必ずしも常にTにならない式を整合式
￢p∨q→（ｐ→ｑ） のように必ずTになる式をトートロジー
（￢p∨q）∧（ｐ∧￢ｑ)のように必ず⊥になる式を矛盾式と呼ぶ。
| p | ｑ | ￢p | ￢p∨q | ￢ｑ | ｐ∧￢ｑ | （￢p∨q）∧（ｐ∧￢ｑ) |
| T | T | ⊥ | T | ⊥ | ⊥ | ⊥ |
| T | ⊥ | ⊥ | ⊥ | T | T | ⊥ |
| ⊥ | T | T | T | ⊥ | ⊥ | ⊥ |
| ⊥ | ⊥ | T | T | T | ⊥ | ⊥ |
以下の式はトートロジーか整合式か矛盾式か？
p∧(p→q)→q トートロジー
ｑ→ｐ∧（ｐ→ｑ） 整合式
| ｐ | ｑ | ｐ→ｑ | ｐ∧（ｐ→ｑ） | ｑ→ｐ∧（ｐ→ｑ） |
| T | T | T | T | T |
| T | ⊥ | ⊥ | ⊥ | T |
| ⊥ | T | T | ⊥ | ⊥ |
| ⊥ | ⊥ | T | ⊥ | T |
￢ｑ→￢(p∧（ｐ→ｑ）) トートロジー
(p→q)→(￢p∨q) トートロジー
￢(p→q)→￢(￢p∨q) トートロジー
(p→q)⇔(￢p∨q) トートロジー
￢(p∧(p→q))∨q トートロジー
(p∧(p→q))∧￢q 矛盾式
| ｐ | ｑ | ｐ∧（ｐ→ｑ） | ￢ｑ | (p∧(p→q))∧￢q |
| Ｔ | Ｔ | Ｔ | ⊥ | ⊥ |
| Ｔ | ⊥ | ⊥ | Ｔ | ⊥ |
| ⊥ | Ｔ | ⊥ | ⊥ | ⊥ |
| ⊥ | ⊥ | ⊥ | Ｔ | ⊥ |
命題の論理記号による表現
１．雨が降ったときに限り虹が出る。
r1:雨が降った。 r2:虹が出る。 r2→r1、または￢ r1→￢r2
２．ジョンがいるときだけメアリーはピアノを弾く。
ｊ：ジョンがいる。 ｍ：メアリーはピアノを弾く。 ｍ→ｊ、または
￢ｊ→￢ｍ
３．このやかんは取っ手が取れたときに保証するか、一年間保証する。
ｐ：このやかんの取っ手が取れた。
ｑ：このやかんの使用期間は一年間以内である。
ｒ：このやかんを保証する。
(p→r)∨(q→r)、または￢p∨￢q∨r、￢(p∧q)∨r、p∧q→r
４．ヒットラーもルーズベルトもユダヤ人でない。
ｈ：ヒットラーはユダヤ人である。
ｒ：ルーズベルトはユダヤ人である。
￢h∧￢r、または￢(h∨r)
５．ヒットラーがユダヤ人でないかまたはアインシュタインがユダヤ人でない。
ｈ：ヒットラーはユダヤ人である。
ｅ：アインシュタインはユダヤ人である。
￢h∨￢e、または￢(h∧e)
６．ア・プリオリな認識が純粋理性に基づき、ア・プリオリでない認識が経験的判断であるとき、純粋理性に基づかない認識は経験的判断である。
ａ：認識がア・プリオリである。 ｒ：認識が純粋理性に基づく
ｅ：認職が経験的判断である。
(a→r)∧(￢a→e)→(￢r→e)
７．男やもめは男でありかつ独身ならば、男やもめは男である。
ｓ：ある人は男やもめである。
ｔ：ある人は男である。 ｕ：ある人は独身である。
(s→t∧u)→(s→t)
ちなみにこのとき (s→t∧u)→(s→u)もなりたつ。
８．男やもめか未亡人が独身ならば、男やもめは独身である。
ａ：ある人は男やもめである。
ｂ：ある人は未亡人である。 ｃ：ある人は独身である。
(a∨b→c)→(a→c)
ちなみにこのとき(a∨b→c)→(b→c)もなりたつ。
否定・条件・推論
「すべての学生は勤勉である」という主張に対して厳密な否定は、全称文を存在文に変えた文、すなわち
「ある学生は勤勉ではない」である。
「すべての学生は勤勉である」という主張に対して
「学生はすべて勤勉ではない」
「勤勉な学生も勤勉でない学生もいる」は厳密でない否定である。
他方、「すべての学生は勤勉である」という主張は、以下の三つと両立可能である。ただし同値でない。
「ある学生は勤勉である」
もとの逆「勤勉なものは学生である」
もとの裏「学生でなければ勤勉でない」
上のように全称肯定文は条件関係が成り立ち、その対偶と同値である。
「すべての学生は勤勉である」は「勤勉でないものは学生でない」のと同じである。
対偶を使った推論の問題を解いてみよう。
①休日には久美子は英会話学校に行く。
②休日でない日には一人は講義に出たうえで、さらに英会話学校に行く。
③久美子が英会話学校に行く日はバスと電車が空いている。
②の対偶より
④一人が講義に出ないか英会話学校に行かない日は休日である。
④より
⑤一人が講義に出ない日は休日である。
①・⑤より
⑥一人が講義に出ない日は久美子は英会話学校に行く。
③・⑥より
⑦一人が講義に出ない日は電車が空いている。
(全称と存在の推論)
条件構造をもたない存在文がある場合、その個体をα、β、γ…等各々名前を付ける。
①殺人を好む者は倫理的でない。
②ある倫理学者は殺人を好む。
②より殺人を好む倫理学者をαとする。
③αは殺人を好む。
①・③より
④αは倫理的でない。
④から以下が推論される。
⑤倫理学者の中には倫理的でないものがいる。
(消去法)
いまＡでなく、さらにＡまたはＢであるとしよう。とするとＢであることが推論できる。
①おもしろくてためになる授業なら、向学心がおこる。
②向学心のおこる授業なら、大学に通いたくなる。
③おもしろいが、大学に通いたくない授業ならためにならない。
①・②から③を導きたいとき、③Ａ→ＢのＡを仮定しＢを導く。
すなわち④Ａ、ある授業がおもしろいが、大学に通いたくないを仮定する。
②の対偶より
⑤大学に通いたくない授業は、向学心がおこらない。
④・⑤より
⑥ある授業がおもしろいが、向学心がおこらない。
①の対偶より
⑦向学心のおこらない授業は、おもしろくないかためにならない。
⑥・⑦より
⑧その授業がためにならない。
④・⑧より③が導かれた。
では応用問題をやって見よう。
①算数も理科も好きな児童は社会が好きではなかった。
②国語が好きな児童だけが理科が好きでなかった。
③国語が好きではないが社会が好きな児童がいた。
それゆえ ④国語も算数も好きではないという児童がいた。
この推論が正しいことを示そう。
③は存在文なので、
⑤国語が好きではないが社会が好きな児童をβとおく。
①の対偶より
⑥社会が好きな児童は算数か理科が好きではなかった。
⑤⑥より
⑦βは算数か理科が好きではなかった。
②より
⑧理科が好きでなかった児童は国語が好きだった。
⑦・⑧より
⑨βは算数が好きでなかったか国語が好きだった。
⑤より
⑩βは国語が好きではなかった。
⑨・⑩より(消去法)
⑪βは算数が好きではなかった。
⑩・⑪より
⑫βは国語も算数も好きではなかった。
したがって①・②・③より④が推論された。
(背理法)
Ａ，Ｂ，Ｃの三軒の米屋があり開店状況は次のようである。
このときＡ店は毎日閉店していることを背理法によって証明するには、結論を否定して矛盾が生じることを示せばよい。
①他の二店がともに閉店の日はＡ店は閉まっている。
②Ａ店が開店かＢ店が閉店の日はＣ店は閉まっている。
③他の二店のどちらかが開店の日はＢ店は閉まっている。
さてＡ店は毎日閉店していることを否定して仮定する。すなわち
④Ａ店は毎日閉店しているとは限らない。
④より
⑤Ａ店の開店している日をγとする。
①の対偶より
⑥Ａ店が閉まっていない日は他の二店のいずれかが閉店していない。
⑥を言い換えると
⑦Ａ店が開店している日はＢ店かまたはＣ店が開店している。
②より
⑧Ａ店が開店している日はＣ店は閉まっている。
⑦・⑧より
⑨Ａ店が開店している日はＢ店が開店しＣ店が閉まっている。
⑤・⑨より
⑩γはＡ店とＢ店が開店しＣ店が閉まっている。
⑪γは他の二店のどちらかが開店しＢ店が開店している。
③と⑪は矛盾。よって仮定が誤り。
「Ａ店は毎日閉店している」が証明された。
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