思考の論理的形式復習のページ

真理関数

 ヒットラーはユダヤ人である      ‥‥a
 アインシュタインはユダヤ人である  ‥‥b

 aは手塚治虫の『アドルフに告ぐ』ではいざしらず、偽とみなすのが
常識である。それに対してbは真であろう。
 ここで「aでない」という命題の真偽すなわち真理値を考えてみると、「aでない」は真である。aでないを¬a、真をT、偽を⊥と表記すると、
aは⊥だから¬aはTとなる。逆にbはTだから¬bは⊥となる。
 一般に命題をpと表すと ¬pはpがTのとき ⊥
                     pが⊥のとき T となる。
 これはちょうどx2はxが1のとき1
             xが0のとき0のようにxの値に応じてx2の値が
一義的に対応するのと同様である。
 ¬pはpの真理値に一義的に対応した真理値をもつという意味で
一種の関数とみなすことができる。

否定¬pのような関数のことを原子命題pの真理関数と呼ぶ。
基本的な真理関数には
¬p (pでない)、p∧q (pかつq)、p∨q (pまたはq)、p→q
(pならばq)、の四つがあり、これに(p→q)∧(q→p)で定義されるp⇔q
(pならばpの時に限りq)を合せて数えることがある。
複雑な真理関数でも以上の5つの基本的な真理関数を組み合わせて定義される。

一般には原子命題の真偽すなわち真理値x1、x2、‥‥xnから、原子命題によって構成される分子命題の真偽yへの関数のことを真理関数という。


真理表の書き方
 ¬、∧、∨、→、⇔の順で結合力が弱いと考える。
 したがって((¬p)∨q)→(p∧q)は¬p∨q→p∧qと同じである。

括弧のなかから真理値を決定して行く。
¬p∨q→p∧qの場合では以下の通り。

p q ¬p ¬p∨q p∧q ¬p∨q→p∧q
T T T T T
T T
T T T
T T

¬p∨q→p∧q   のように必ずしも常にTにならない式を整合式
¬p∨q→(p→q) のように必ずTになる式をトートロジー
(¬p∨q)∧(p∧¬q)のように必ず⊥になる式を矛盾式と呼ぶ。

p ¬p ¬p∨q ¬q p∧¬q (¬p∨q)∧(p∧¬q)
T T T
T T T
T T T
T T T

以下の式はトートロジーか整合式か矛盾式か?
p∧(p→q)→q       トートロジー
q→p∧(p→q)     整合式

p→q p∧(p→q) q→p∧(p→q)
T T T T T
T T
T T
T T

¬q→¬(p∧(p→q)) トートロジー

(p→q)→(¬p∨q)    トートロジー
¬(p→q)→¬(¬p∨q) トートロジー
(p→q)⇔(¬p∨q)    トートロジー

¬(p∧(p→q))∨q    トートロジー
(p∧(p→q))∧¬q    矛盾式

p∧(p→q) ¬q (p∧(p→q))∧¬q


命題の論理記号による表現
1.雨が降ったときに限り虹が出る。
  r1:雨が降った。  r2:虹が出る。  r2→r1、または¬ r1→¬r2

2.ジョンがいるときだけメアリーはピアノを弾く。
  j:ジョンがいる。  m:メアリーはピアノを弾く。  m→j、または
  ¬j→¬m

3.このやかんは取っ手が取れたときに保証するか、一年間保証する。
  p:このやかんの取っ手が取れた。
  q:このやかんの使用期間は一年間以内である。
  r:このやかんを保証する。
  (p→r)∨(q→r)、または¬p∨¬q∨r、¬(p∧q)∨r、p∧q→r

4.ヒットラーもルーズベルトもユダヤ人でない。
  h:ヒットラーはユダヤ人である。
  r:ルーズベルトはユダヤ人である。
  ¬h∧¬r、または¬(h∨r)

5.ヒットラーがユダヤ人でないかまたはアインシュタインがユダヤ人でない。
  h:ヒットラーはユダヤ人である。
  e:アインシュタインはユダヤ人である。
  ¬h∨¬e、または¬(h∧e)

6.ア・プリオリな認識が純粋理性に基づき、ア・プリオリでない認識が経験的判断であるとき、純粋理性に基づかない認識は経験的判断である。
  a:認識がア・プリオリである。 r:認識が純粋理性に基づく
  e:認職が経験的判断である。
  (a→r)∧(¬a→e)→(¬r→e)

7.男やもめは男でありかつ独身ならば、男やもめは男である。
  s:ある人は男やもめである。
  t:ある人は男である。     u:ある人は独身である。
  (s→t∧u)→(s→t)
  ちなみにこのとき (s→t∧u)→(s→u)もなりたつ。

8.男やもめか未亡人が独身ならば、男やもめは独身である。
  a:ある人は男やもめである。
  b:ある人は未亡人である。  c:ある人は独身である。
  (a∨b→c)→(a→c)
  ちなみにこのとき(a∨b→c)→(b→c)もなりたつ。

否定・条件・推論
  「すべての学生は勤勉である」という主張に対して厳密な否定は、全称文を存在文に変えた文、すなわち
  「ある学生は勤勉ではない」である。
  「すべての学生は勤勉である」という主張に対して
  「学生はすべて勤勉ではない」
  「勤勉な学生も勤勉でない学生もいる」は厳密でない否定である。
  他方、「すべての学生は勤勉である」という主張は、以下の三つと両立可能である。ただし同値でない。
  「ある学生は勤勉である」
  もとの逆「勤勉なものは学生である」
  もとの裏「学生でなければ勤勉でない」

 上のように全称肯定文は条件関係が成り立ち、その対偶と同値である。
  「すべての学生は勤勉である」は「勤勉でないものは学生でない」のと同じである。

 対偶を使った推論の問題を解いてみよう。
 @休日には久美子は英会話学校に行く。
 A休日でない日には一人は講義に出たうえで、さらに英会話学校に行く。
 B久美子が英会話学校に行く日はバスと電車が空いている。
 Aの対偶より
 C一人が講義に出ないか英会話学校に行かない日は休日である。
 Cより
 D一人が講義に出ない日は休日である。
 @・Dより
 E一人が講義に出ない日は久美子は英会話学校に行く。
 B・Eより
 F一人が講義に出ない日は電車が空いている。

(全称と存在の推論)
 条件構造をもたない存在文がある場合、その個体をα、β、γ…等各々名前を付ける。
 @殺人を好む者は倫理的でない。
 Aある倫理学者は殺人を好む。
 Aより殺人を好む倫理学者をαとする。
 Bαは殺人を好む。
 @・Bより
 Cαは倫理的でない。
 Cから以下が推論される。
 D倫理学者の中には倫理的でないものがいる。

(消去法)
 いまAでなく、さらにAまたはBであるとしよう。とするとBであることが推論できる。
 @おもしろくてためになる授業なら、向学心がおこる。
 A向学心のおこる授業なら、大学に通いたくなる。
 Bおもしろいが、大学に通いたくない授業ならためにならない。
 @・AからBを導きたいとき、BA→BのAを仮定しBを導く。
 すなわちCA、ある授業がおもしろいが、大学に通いたくないを仮定する。
 Aの対偶より
 D大学に通いたくない授業は、向学心がおこらない。
 C・Dより
 Eある授業がおもしろいが、向学心がおこらない。
 @の対偶より
 F向学心のおこらない授業は、おもしろくないかためにならない。
 E・Fより
 Gその授業がためにならない。
 C・GよりBが導かれた。

 では応用問題をやって見よう。
 @算数も理科も好きな児童は社会が好きではなかった。
 A国語が好きな児童だけが理科が好きでなかった。
 B国語が好きではないが社会が好きな児童がいた。
 それゆえ C国語も算数も好きではないという児童がいた。
 この推論が正しいことを示そう。

 Bは存在文なので、
 D国語が好きではないが社会が好きな児童をβとおく。
 @の対偶より
 E社会が好きな児童は算数か理科が好きではなかった。
 DEより
 Fβは算数か理科が好きではなかった。
 Aより
 G理科が好きでなかった児童は国語が好きだった。
 F・Gより
 Hβは算数が好きでなかったか国語が好きだった。
 Dより
 Iβは国語が好きではなかった。
 H・Iより(消去法)
 Jβは算数が好きではなかった。
 I・Jより
 Kβは国語も算数も好きではなかった。
 したがって@・A・BよりCが推論された。

(背理法)
 A,B,Cの三軒の米屋があり開店状況は次のようである。
 このときA店は毎日閉店していることを背理法によって証明するには、結論を否定して矛盾が生じることを示せばよい。

 @他の二店がともに閉店の日はA店は閉まっている。
 AA店が開店かB店が閉店の日はC店は閉まっている。
 B他の二店のどちらかが開店の日はB店は閉まっている。

 さてA店は毎日閉店していることを否定して仮定する。すなわち
 CA店は毎日閉店しているとは限らない。
 Cより
 DA店の開店している日をγとする。
 @の対偶より
 EA店が閉まっていない日は他の二店のいずれかが閉店していない。
 Eを言い換えると
 FA店が開店している日はB店かまたはC店が開店している。
 Aより
 GA店が開店している日はC店は閉まっている。
 F・Gより
 HA店が開店している日はB店が開店しC店が閉まっている。
 D・Hより
 IγはA店とB店が開店しC店が閉まっている。
 Jγは他の二店のどちらかが開店しB店が開店している。
 BとJは矛盾。よって仮定が誤り。
 「A店は毎日閉店している」が証明された。

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