[授業目標]排中律は自明ではないことを理解できる
〔問い〕「私はあなたのことが好きじゃない」と面と向かって口にする場合、どのようなニュアンスが籠められているでしょうか(あわせて、私はあなたのことが好きということはない、は何を意味しているでしょうか。下図の該当する部分を斜線で塗りなさい
)。
私はあなたのことが
好きである |
私はあなたのことが
好きでもないし
嫌いでもない |
私はあなたのことが
嫌いである |
※注意: 「好きじゃない」ということは否定の中でも、取り分けて積極的に正反対を表明しているエゲツナサに特徴があります。
【問題意識共有メモ】
否定とは「嫌いである」「好きでも嫌いでもない」という可能性を含むのに対し、好きじゃない、と言えば殊更、嫌いであることが強調されるわけです。 |
※注意：大体の判断推理の問題では嫌い＝好きではない、と扱われるようです。好きでもないし嫌いでもないということが、考慮されることは稀です。つまり、中立ケースを考慮しないでもよい、ということになります。
| このように考えてみると、たいていの場合、「Aでない」は「A」という主張を打ち消しているだけではなく、純粋な打ち消し以上の積極的な+αが盛り込まれている場合が普通のようです。そうした積極的なプラスアルファをそぎ落として、「A」を打ち消したものが、「Aでない」ということになります。色々な例が教科書[野矢茂樹、2006、『入門！論理学』中公新書。]には載っていますから、検討しておいてください。 |
〔問い〕「太郎は正直だ」の否定「太郎は正直というわけではない」を、反対と中立に分けよ。
答え 。
【問題意識共有メモ】
論理学の中には、「論理法則」と呼ばれるものがあります。論理的に、すなわち言葉の意味から言って必ず成り立つ文章のことです。例えば「Aまたは(Aでない)」というのは、そうした「論理法則」の一例です。この論理法則には名前がついています。「A」と「Aでない」の中間は取らない、中間を排除するというところから「排中律」と呼ばれます。 |
排中律の成り立つことが怪しいケース：①「A」は正しいか間違っているか、曖昧なケース。②「A」が曖昧でなくても排中律に対する疑いが生じるケース。②にあたるケースとして、
〔課題〕例えば「ジョディーは勇敢である」という主張があったとします。勇気があることを示すような場面として、具体的にどのような場合が想定されるでしょう?
答え 。
そういう場面が想像できるにもかかわらず、それに一度も遭遇しない場合は、どう考えればよいでしょう。もし一生、ジョディーが当該場面に直面しないとしたら、「ジョディーは勇敢であるか、ないかのいずれかである」は成り立たないのではありませんか。同様に例えば、「ジョディーは臆病か、臆病でないかのいずれか」も成り立たないことも考えられます。疑いは募るばかりです。
哲学的に言うと、傾向性(性向)と呼ばれる述語が用いられるとき、このような問題が出来します。例えば食塩が水溶性という性質をもっているかについて。もし、食塩が水のなかに入れられる機会がなければ、水に溶けません。また飽和食塩水に食塩を入れても、溶けません。なかなか悩ましいです。〔現代の哲学では、水溶性に対応する分子構造をもちだして水溶性を基礎づけます。分子構造のような傾向性(性向)の基礎となる性質のことを、因果的基盤と言います。なお上の勇敢・臆病の場合は、人の性格にかかわりますから、因果的基盤は見つけにくいです。〕
〔勉強のすすめ〕直観主義論理学という論理学は、どのよう論理学か調べてくること。ただし以下では、通常の古典論理学にしたがい、排中律が成り立つものとします。
※注意 ここでは、排中律を初めから肯定する、と決めてかかるのは考えものだ、ということをほのめかすだけにしておきます。排中律を認める立場を実在論といいます。簡単に言って、人間が認識するかしないかにかかわらず、世界の状態があらかじめ決まっているという発想が、それです。これに対して、排中律を認めない立場を反実在論と言います。先で使った言葉で言えば、直観主義論理学が一例に当たります。
反実在論の根拠としてしばしば挙げられるのは数的無限です。例えば円周率を考えましょう。言うまでもなく
πです。それは無限小数であって、小数展開を列挙すれば、以下の通り。
産医師異国に向かう 産後厄なく 産婦みやしろに 虫散々闇に鳴く
3.14159265 358979 3238462 643383279・・・
〔問い〕「円周率の無限小数展開のうちに、
8が十一回続けて現われるかどうか」に関して、今のところはそういう数列が見つかっていません。にもかかわらず、無限が実在すると考えるひとは、このことに関して、どのように答えるでしょうか。
〔資料〕マイケル・ダメット著、藤田晋吾訳、1986、『真理という謎』勁草書房、241ページ。
「〔そのタルスキーの〕真理定義は、たとえば598017+246532＝844549であるちょうどそのときに、
「598017+246532＝844549」は真である
ことを教える。われわれはその計算を行ない、598017+246532と844549に等しいことを見出すかもしれない。しかしそのことは、その等式が計算がなされる前からすでに真であったこと、あるいは、たといその計算が一度もなされなかったとしても真であったろうこと、を意味するだろうか。タルスキーの真理定義は「真である」という述語の時制や叙法の語尾変化を供給しないのであるから、そのような問にはまったく答えてくれない。その真理定義は、すべての通常の数学的述語がそうであるように、時制をもたぬ述語としてのみ導入された。ところが、われわれの言語におけるその定義の働き方から見ると、なぜそのような時制の語尾変化が、あるいは叙法のそれさえも、禁じられねばならないのか、が少しも明らかにならないのである」。 |
〔まとめ〕
以下で考えるのは排中律を論理法則として認めるような論理の体系です。つまり第一に、「ここは表日本である」というような曖昧な概念を考えないということ。だって新潟・群馬の県境を1m新潟側へ移動すれば、表日本でないっておかしな話ですから。第二に、あらかじめ真理が確定している態度でいこう、というわけです（古典論理学の実在論でいこう）。 |
〔勉強のすすめ〕では次の問題を考えてみてください。[→三浦俊彦、2004、『論理学がわかる事典』日本実業出版社、180-181ページ。]
1現在のフランス国王の右尻にはホクロがある。
2現在のフランス国王の右尻にはホクロがない。
3現在のフランス国王の右尻にはホクロがあるというわけではない。
4現在のフランス国王の右尻にはホクロがないというわけではない。
非存在を主語とする文章は、排中律が成り立たないかのように見えます。3「現在のフランス国王の右尻にはホクロがあるというわけではない」は1「現在のフランス国王の右尻にはホクロがある」という事実の否定です。とすれば、排中律は成り立つでしょうか。
〔オマケ〕未来に関して実在論がとれるかどうかは、怪しい問題です。10年後に私に宝くじが当たるか当たらないか決まっているでしょうか。10年後が今現在になったとして、もし私がもはや死んでしまっていたら、私に宝くじが当たるも無意味ですし、私に宝くじが当たらないも無意味です。ということは、10年後に私に宝くじが当たるか当たらないか決まっていない、したがって「10年後に私に宝くじが当たる」は無意味ということになるでしょう。
※注意 ただし10年後が今現在になって、私がもはや死んでいることが確実なら、私に宝くじが当たるも偽ですし、私に宝くじが当たらないも偽です。〔上の、現在のフランス国王の例に照らし合わせてみてください。〕
5.二重否定・矛盾・背理法
[授業目標]背理法の基本を学ぶ
二重否定というのは、二回続けて同じ主張を否定することはもとの主張と同じことになることです。すなわち主張「A」に対して「(Aでないことは)ない」がそれです。二重否定の規則を簡単に言えば、ある命題を二回否定すれば、元の命題の肯定になるという考え方です。
「二重否定入れ」A→(Aではない)ではない
「二重否定取り｣ (Aではない)ではない→A |
実は二重否定というのは、先に論じた排中律と密接に結びついているのです。
■「二重否定入れ」と「二重否定取り」のどちらが、「排中律」と連動していると思いますか。答えは？
・・・そのわけとともに、答えは教科書[野矢茂樹、2006、『入門！論理学』中公新書。]を見てください。
〔復習〕
否定に対する基本にもどりましょう。「ある状況で「Aでない」と正しく主張できるのは、その状況で「A」と主張するとまちがいになるときである」でした。 |
| ※コラム 臆病と五体満足の話で考えてみましょう。「太郎は五体満足ではない」という主張がまちがいになるのは、太郎が五体満足のときです。それ以外には考えられません。だから「(五体満足ではない)ということはない」という二重否定は「太郎は五体満足である｣を意味します。この場合、二重否定取りは成り立ちます。しかしながら、臆病の場合、五体満足のようにスッキリいかない。「太郎は臆病でない」という主張がまちがいになるのはどういうときでしょう。もちろん、太郎が臆病なとき、真としてかまわないかもしれません。しかしそれだけでは話はすみません。そもそも勇敢であるかまたは、向こう見ずであることを試されるような場面に太郎が立ち会わなかったとします(もちろん、臆病は、勇敢でも向こう見ずでもない場合です)。その場合にも｢あんた臆病とちゃいますな｣と太郎に言うことは出来ません。「臆病でない」と言えないだけではなく、同時に「臆病だ」とも言えないのです。この見方に引かれる人は直観主義論理学をとるわけです。 |
ここから話は矛盾を主題にします。
■空所を補充せよ
。
論理的な意味では、世の中には矛盾なんてないでしょう。昨日、岡山市で〈大型矛盾〉が起こったなどということはありえません
(それに対して、お台場にブラックホールが発生するということは、ひょっとしたらあるかもしれません・2020年に東京でオリンピックがありえたように)。矛盾は、あくまでものごとを
捉えることから生じます。つまり簡単に言えば、矛盾は
の側にあるのではなく、世界を捉える
の側に生じるものなのです。すなわち
「A」と「Aでない」を同時に主張すること、つまり「Aかつ(Aでない)」というたぐいの主張を「矛盾」と呼びます。 律・・・(Aかつ(Aでない))ことはない
この矛盾律を前提にした証明法に、背理法があります。背理法では、まず否定したいことを仮定して、そしてその仮定から矛盾が導かれることを示す、・・・ある仮定「A」から矛盾が導かれるのだとすれば、「A」はまちがいであった、したがって「A」は否定される、これを示すのが背理法です。
※ヒント
自然数を二乗したものが偶数になるのならば、元の数は偶数のはず。
2の剰余系
(2で割った余りが等しくなる自然数の集合)で考えてみるとわかります。
2の剰余系
の掛け算 |
0 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
では上のヒントを使って、ルート2が無理数であることを証明してください。つまりそれが有理数であることを仮定して、矛盾が生じるから、ルート2は有理数でない、と背理法によって証明してください。 自分でやってみよう。
※補足:以下で：→は「導くことができる」の表記とします。標準の論理学の教科書では┣で表わされるものです。
| まとめ |
| 排中律・・・・ |
| 二重否定則・・ |
| 矛盾律・・・・ |
| 背理法・・・・ |
〔課題〕以下の背理法を完成せよ。[→三浦俊彦、2004、『論理学がわかる事典』日本実業出版社、64-65ページ。]
最大の素数は存在しないことを背理法によって証明する。まず仮定として結論を否定する。最大の素数をNと表記するとして、次の数を考える。M＝(1*2*3*4*・・・*N)+1
Mは より大きい。Nが最大の素数なのだからMは でない。したがって、Mは素数の積の形で書けるはずである(素因数分解できる)。ところでMは1以外のN以下の数で割り切れない。
したがってMを素数の積で表した場合、
M＝a*b*c*d*・・・*zと表した場合そこに現われる素数a～zはすべてN なければならない。したがって、Nは最大の素数ではない。矛盾が生じる故に仮定は誤り。
故に最大の素数は存在しない。
6.連言の導入則・連言の除去則 「かつ」とその仲間達
[授業目標]連言という結合子の特質を把握できる
【問題意識共有メモ】
さて論理学で扱われる接続表現に移りましょう。演繹とは、接続詞(及び否定詞)の限られた側面しか取り扱いません。前に述べたように、日本語で普通、否定が使われるとき、特定のニュアンスが籠められています。それに対して、論理学が扱うのは、否定の核になるようなものだけです。それと同様に、接続表現も、限られた「パターン」みたいなものしか扱いません。これから以下３回で、取り上げるのは「かつ」「または」「ならば」という三つの「パターン」です。 |
まとめ
「何からその主張が導けるのか」というタイプの規則を、導入則、「その主張から何が導けるのか｣というタイプの規則を、除去則という名前で呼びます。 |
※注意 「否定の導入則」として何を採用すべきでしょうか。背理法が答えです。すなわちAを仮定して矛盾が生じるとき、Aでないと結論するのです。それに対して「否定の除去則」とは、二重否定取り、つまり((Aでない)ことはない)→Aです。
否定入れ：【背理法】Aを仮定して矛盾が生じる→Aでない
否定取り：【二重否定】((Aでない)ことはない)→A |
「AかつB」が正しく主張できるのは、AとBが とも正しく主張できるときです。例えば「太郎は柔道が強い」と「花子は柔道が強い」のどちらも正しい主張ならば、「太郎は柔道が強く、かつ花子も柔道が強い」は正しいことになります。ふつうの言い方をすれば、「太郎も花子も柔道が強い」となります。
このことを図式的に書けば 。
これを「かつ入れ」「連言入れ」の規則、「連言の導入則」と呼びます。
逆に「AかつB」が正しく言えているとき、「A」も と言えるし、「B」も と言えるということになりましょう。例えば「九鬼は大学の教員であり、かつ哲学を専攻している」から「九鬼は大学の教員である」と言えるでしょう。また「九鬼は大学の教員であり、かつ哲学を専攻している」から「九鬼は哲学を専攻している」とも言えるでしょう。これを図式化すれば 。
言うまでもなく「かつ取り」「連言取り」の規則、「連言の除去則」です。
「かつ」という接続詞の仲間たちを見ておくことにしましょう。くわしくは、野矢茂樹著、2006、『新版 論理トレーニング』産業図書をご覧ください。
①「そして」②「むしろ」「しかも」③「しかし」 |
※注意 「そして」に注意が必要です。「そして」はほとんど「かつ」に等しいのですが、ときに「そして」は時間的順序を表します。例えば の場合。
「AかつB 」の場合「BかつA」が正しいのはほぼ自明ですが、「AそしてB」が正しいとき必ずしも「BそしてA」が正しいとは言えないのです。「かつ入れ」・「かつ取り」が規定しているような「かつ」は無時間的なのですが、「そして」は時間的な含みをもってくるのです。「A,B,
Aが時間的にBに先行する→Aかつ(時間)B＝AそしてB」ということになりましょう。なお、「そして」という接続詞は、使える場所が多いのですけれど、多用すると冗長な悪文になってしまいます。
〔問い〕では「しかも」や「むしろ」といった「かつ」の仲間たちの導入則はどうなるでしょうか。野矢茂樹、2006、『新版 論理トレーニング』産業図書、22-23ページ。この仲間たちの論理的機能は、「かつ」と同じなのですが、ニュアンスがちがいます。そうしたちがいに敏感になることが、文章理解を深める第一歩です。
「今日は誕生日だ。しかも両親の結婚記念日だ」(誕生日はめでたいものと仮定しましょう)。・・・「しかも」を累加と言います。
答え 。
「今日は仏滅でない。今日はむしろ結婚式にはうってつけの日と言うべきだ」
(ただし、仏滅でないとして、赤口ならば、普通結婚式を避けます)。
答え AまたはC、Aでない、故にCならばB、よってAでなくむしろBである。
そこで、ある主張に伴う前提を[]で括り、その前提のもとでの命題内容を()で括れば〔野矢茂樹、2005、「しかしの論理」、『他者の声 実在の声』産業図書、267-279ページにしたがう〕、
「今日は大寒だ。でも、寒くない」は[大寒ならば寒いと考えられている](今日は大寒であり寒くない)となります。
一般に、「AしかしB」は次のように書けるでしょう。[Aならば(Bではない)と考えられている](AかつB)
変形すれば「AしかしBでない」は[AならばBと考えられている](Aかつ(Bでない))となります。 |
〔課題〕次の二つの文の「命題内容」と「前提」を記せ。[→野矢茂樹、2006、『新版 論理トレーニング』産業図書、23-25ページより改変。]
aこの店は評判がいい。しかし、高い。
bこの店は高いが、評判がいい。
aの「命題内容」＝bの「命題内容」 。
aの「前提」 。
bの「前提」 。
※注意：「しかし」と類似した接続表現に「ただし」がある。「ただし」は補足的に話題を転換する場面で使われる。譲歩の接続詞とも言われる。
〔問い〕次の二つの文の意味の違いを考えてみよ。
aこの店は評判がいい。しかし、高い。
bこの店は評判がいい。ただし、高い。
改めて「連言入れ」と「連言取り」を書き出すと(命題内容が純粋に両立することを連言と呼ぶ)
連言入れ：A,B→AかつB
連言取り：AかつB→A, AかつB→Bとなります。 |
〔勉強のすすめ〕「私は真面目に出席した。しかし単位を落とした」の「前提」は、「真面目に出席すれば、成績がよい」ではない。このさいの「前提」を詳しく分析してみよ。「真面目に出席すれば、どうなのか？」（～ならば、単位を落とさないはずである、というかたちの前提があると思われる）
7.選言の導入則・選言の除去則 喫茶店の「または」と違います
[授業目標]選言という結合子の特質を把握できる
「太郎は柔道が強いか、または、花子は柔道が強い」
＝「太郎は柔道が強い」か「花子は柔道が強い」の少なくともどちらか一方は正しい、ということです。
この「または」は
喫茶店で使われる「または
(喫茶店)」と違います。「ランチセットはコーヒーか紅茶付きで
600円」を省略せずに言い換えると以下のようになるでしょう。
| 「ランチセットを注文した場合、コーヒーがランチに付いており全部で割安600円、またはそれとも、紅茶がランチに付いており全部で割安600円で食べられます」(教科書と異なる表現にすると混乱を招くので、教科書[野矢茂樹、2006、『入門！論理学』中公新書。]にしたがいます。他にどのような表現方法がありますか)。この読みの「または」では先の「少なくとも一方のどちらか」ではなく、ランチについてくるのはコーヒーか紅茶のどちらか一方だけです。 |
■空所を補充せよ。
こうした喫茶店の「または」のことを 非両立的(exclusive) 選言と呼び、最初に出てきた柔道家のような「または」、つまり 両立的 選言と区別します。普通論理学で使われるのは、「両立的選言」のみを指します。それに対して日常言語では、ケースバイケースで「両立的選言」が使われたり、「非両立的選言」が使われたりします。違いは分かりますか。 両立的 は「少なくとも一方が真」、 非両立的 は「どちらか一方のみが真」の場合に使われます。
この喫茶店では通用しない、「または」つまり 両立的 選言を導入するために、次の規則を使います。「選言の導入則」
A→AまたはB・・・(1)
B→AまたはB・・・(2)
| ※注意 選言入れ 主張「A」が正しいとして、「B」が何であれ、「AまたはB」は正しいと上の規則(1)は主張しています。でも「B」が何であってもよいとは？「B」は間違った主張でも「A」と何の関係もないものでもかまわないわけです。例えば「ニシンは魚だ」は正しい。するとこれに続けて「ニシンは魚だ、または「日本」は形容詞である」「ニシンは魚だ、またはウナギイヌは魚だ」、これらもみんなOKです。 |
| 何であれ「AまたはB」と主張されたとして、その主張が正しいのは、「A」が正しいか「B」が正しい場合です。 |
■「選言の除去則」を述べなさい。
選言の除去則 。
「選言の除去則」を用いるのが、「消去法」です。
AかBかという選択肢がある。そこでAではないことがさらに分かる。そうするとそこからBだということが導かれる。消去法はこのような選言的三段論法の応用です。 |
ただし｢または｣の除去則の別ヴァージョンとして「いずれにせよ論法」というものもあります。すなわち[AまたはB、AならばC、BならばC]→Cというものです。(→は「ゆえに」)
「いずれにせよ論法」を複数回使うことにより、「構成的ジレンマ」が成り立ちます。
AならばP
BならばP
CならばP
・・・ KならばP
AまたはBまたはCまたは・・・K 故に結論 P
〔発展問題〕ちょっと複雑に見えるかもしれませんが、骨組みは「いずれにせよ論法」を複数回適用したものです。つまり①いくつかの選択肢があって、そのいずれが真であっても、Pが成り立つ。②それらの選択肢のうちどれかが真である。③以上から、その選択肢のいずれが真なのかにかかわらず、Pが必ず成り立つことが言えます。[→三浦俊彦、2004、『論理学がわかる事典』日本実業出版社、190ページより改変。]
以上を使うと「宇宙人がいないのならば、電波通信を試みるのは無駄である」「宇宙人が電波文明に達していないのなら、電波通信を試みるのは無駄である」「宇宙人が電波文明に達しているならば、宇宙船でこの辺りに来ているはずなので、電波通信を試みることほど、効率が悪い手段を、宇宙人は取るとも思えない(直接コンタクトを取ればよいのだから)から、電波通信を試みるのは無駄である」「宇宙人がいないか、いても電波文明に達していないか、または電波文明に達しているかのいずれかである」という四つの文章から、「宇宙人との電波通信を試みるのは無駄である」という結論が導かれます。今の論証には抜け道がありますが、分かりますか。
あとでやりますがAからBが導けるとき、AならばBが言えるのはほぼ自明でしょう。親亀がこけたを仮定して、親亀がこけたことから小亀がこけることが導けるとしたら、親亀がこけたら小亀がこけることはいいですね(「ならば入れ」)。
ちょっと消去法を使った問題をやってみましょうか。[→野矢茂樹、2006、『新版 論理トレーニング』産業図書、第九章、例題2より改変。]
前提1：不満があるならば、その店は安くないか、またはおいしくない。前提2：二度と行く気にならないのならば、その店に不満がある。ある店が安くて二度と行く気にならない店であると仮定して、その店はおいしくないを導く。
〔課題〕空所を補充せよ。
ある店が安くて二度と行く気にならない店である、と仮定すれば より、その店は二度と行く気にならない。前提2よりその店には不満がある。前提1と前件肯定式よりその店は安くないか、またはおいしくない①。
ところで仮定と連言取りよりその店は安い店である②。①と②よりその店はおいしくない( )。よってある店が安くて二度と行く気にならない店なら、前提1と前提2が成り立つとき、その店はおいしくない、と結論できる。補足問題：教科書を参照して前件肯定式を確認しておきましょう。
8.ド・モルガンの法則 選言の否定と連言の否定
[授業目標]ド・モルガンの法則を習得できるようになる〔ド・モルガンの法則は試験で頻出する重点項目です〕
「ド・モルガンの法則」
(AまたはＢ)ではない⇔(Aではない)かつ(Bではない)・・・(1)
(AかつＢ)ではない⇔(Aではない)または(Bではない)・・・(2) |
※注意 「～⇔…」とは～が成り立つならば…が成り立つ、と、…が成り立つならば～が成り立つ、の両方の成立を主張しています。このとき～と…は同じ意味を持っています。
■空所を補充せよ。
そこで(AまたはＢ)ではない⇔(Aではない)かつ(Bではない)を見てみると、(AまたはＢ)ではないと(Aではない)かつ(Bではない)は論理的に同じであるということです。例えばピーマンか、またはトマトの少なくとも一方が好きであったとします。その否定は
答え 。
つまりキャッチフレーズ風にまとめると、選言の否定は否定の連言ということになります。
■
また(AかつＢ)ではない⇔(Aではない)または(Bではない)を見てみると、(AかつＢ)ではないと(Aではない)または(Bではない)は論理的に同じであるということです。例えばピーマンが好きで、かつトマトも好きであったとします。そのことの否定は 答え 。
つまりキャッチフレーズ風にまとめると、連言の否定は否定の選言ということになります。
■来週は土曜も日曜も花子は出かける、を否定する、とどうなるでしょうか。ド･モルガンの法則を使って答えよ。以下同様。〔ちなみに毎日花子は出かける、の否定は、いつか花子が出かけない日がある、となります。全称の否定は否定の存在。〕
答え 。
■太郎か次郎の少なくともどちらか一人は出かける、を否定するとどうなるでしょうか。〔ちなみに家族のだれかが出かける、の否定は、家族みんなが出かけない、となります。存在の否定は否定の全称。〕 答え 。
■(AまたはＢ)ではないから、(Aではない)かつ(Bではない)が導けることの証明。教科書[野矢茂樹、2006、『入門！論理学』中公新書。]参照。
■(Aではない)かつ(Bではない)から (AまたはB)ではないが導けることの証明。教科書[野矢茂樹、2006、『入門！論理学』中公新書。]参照。
■空所を補充せよ。背理法に慣れるようにしましょう。
(AかつB)ではないから(Aではない)または(Bではない)が導けることの証明。
(AかつB)ではないを前提する。①
((Aではない)または(Bではない))ではないを仮定する(背理法の仮定)。②
先に証明したド・モルガンの法則より 。③
連言取りと③よりAでないことはない。④
二重否定と④より 。⑤
連言取りと③よりBでないことはない。⑥
二重否定と⑥より 。⑦
連言入れと⑤・⑦よりAかつB。⑧
矛盾①と⑧、背理法より仮定②が誤り。ゆえに((Aではない)または(Bではない))ではないことはない。⑨
二重否定と⑨より 。
〔課題〕空所を補充せよ
(Aではない)または(Bではない) から (AかつB)ではないが導けることの証明。
(Aではない)または(Bではない)を前提する。①
(AかつB)を仮定する(背理法の仮定)。②
連言取りと②よりA。③
選言取りと①・③より 。④
連言取りと②よりB。⑤
矛盾④と⑤、背理法より仮定②が誤り。ゆえに(AかつＢ)ではない。
日本の首相の、だれもが方便を使う＝日本の首相はすべて方便を使う
＝(日本の首相aは方便を使う)かつ(日本の首相bは方便を使う)かつ(日本の首相cは方便を使う)かつ・・・・全称文
日本の首相の、だれかが方便を使う＝日本の首相の中には方便を使うものがいる
＝(日本の首相aは方便を使う)または(日本の首相bは方便を使う)または(日本の首相cは方便を使う)または・・・・存在文 |
9.条件法と「ならば」の否定
[授業目標]条件法という結合子の特質を把握できる
〔前途瞥見〕以下では、条件法の使い方を集中してみてゆきます。試験問題で頻出される事項ですから、よく勉強しておきましょう。
まず、以前にやった｢ならば｣の除去則「条件法の除去則」から。A,AならばBからBが導ける。これを前件肯定式と名づけていました(「ならば取り」と略せます)。例えば「私は論理学の試験に受かれば卒業できる。私は論理学の試験に受かった。故に卒業できる」が当てはまります。
■空所を補充せよ。
ここでAならばBの条件文をめぐるいくつかの用語を定義しておきましょう。条件「A」を｢ ｣、帰結｢B｣を｢ ｣と呼びます。そしてAならばBが成り立つとき、AをBの 条件、BをAの 条件と呼びます。前件肯定式は、前件Aを肯定して後件Bを結論しているので、前件肯定式と呼ばれるのです。
※注意： 改めて確認しておきたいのですが、「AならばB」だけからは、「A」と断定することも「B」と断定することもできません。ちなみに「AだからB」は、Aの断定、Bの断定を含んでいると言えます。
「条件法の導入則」については、すでに述べています(「ならば入れ」)。・・・「親亀がこけた」と仮定する。それからその上に載った「小亀がこけた」が言えるとする。ゆえに「親亀がこけるならば小亀がこける」を導くのが一例です。形式的に言えばAを仮定したとき、帰結としてBがいえるならば「AならばB」が導けるのです。
まず注意。ここでの「ならば」は因果的関係を示しません。
〔課題〕「手から石を離せば石が落下する」という「ならば(因果)」を導入するには、どのような条件が必要でしょう。
三つの条件を挙げなさい。
上澄みを取った、言わば純粋な「ならば」の否定はどうなるか考えるために、教科書の問題にチャレンジしてみましょう。
〔課題〕「半値になっているならば、太郎は、そのままかりを買う」の否定はどうなるでしょう。
「半値になっていても、太郎はそのままかりを買わない」。①
「半値になっていなくとも、太郎はそのままかりを買う」。②
「半値になっているならば、太郎はそのままかりを買わない」。③
■上記の答えの解説について・・・教科書[野矢茂樹、2006、『入門！論理学』中公新書。]を参照。
〔問い〕「AならばB」の否定として、適当なのは何か。上の例に当てはめると、どうなるか。
答え 。
答え 。
結局「AならばB」の否定はこうなります。
(AならばB)ではない⇔Aかつ(Bではない) |
これをさらに否定して、さらなる内容を得ることもできます。
(AならばB)ではないことはない(1)⇔(Aかつ(Bではない))ではない(2)。
前の部分(1)に二重否定取りを適用すれば 。
後の部分(2)にド・モルガンの法則を適用すれば(Aでない)または((Bではない)ことはない)
さらに(Bではない)ことはないに二重否定取りを適用すれば 。
AでなくともBならば、(Aでない)またはBを満たしますから(AならばB)は正しくなります。したがって以下のような文でも論理学では真となります。Aが偽でBが真の場合。
5が偶数ならば日本の首都は東京である。
猫は目から炎を出すならばネズミは象より小さい。
BでなくともAでないならば、(Aでない)またはBを満たしますから(AならばB)は正しくなります。したがって以下のような文でも論理学では真となります。Aが偽でBが偽の場合。
人間が昆虫ならば１+１＝3である。
もちろんAでありBならば、(Aでない)またはBを満たしますから(AならばB)は正しくなります。したがって次のような文も論理学では真となります。Aが真でBが真の場合。
5が自然数なら7も自然数である。
〔問い〕「水曜日」「木曜日」「金曜日」「前日」「翌日」という語句を使い、真となる条件法の命題をできるだけ、多く作れ。
| Aが正しくBが正しくないときのみAならばBは否定される。 |
〔オマケ〕野崎昭弘、1976、『詭弁論理学』中公新書、14-15ページより改変。凶弾に倒れたサダト大統領の魂が天に昇る途中で、白い翼の天使からこんなことをおそわった。
「あなたはもうすぐ、分かれ道につくでしょう。ひとつの道は天国に、もうひとつの道は地獄に行く道です。そこにはふたりの人が立っていて、あなたはそのどちらかひとりに、一回だけ質問をすることができます。天国に行く道がわかるように、上手に質問をしなさい」
ああそれはありがたい、とサダトが思っていると、天使は言葉を続けた。
「ふたりの人というのは、天使の姿になっているのであなたには区別できないでしょうが、ひとりが鬼太郎で、もう一人がネズミ男です。鬼太郎はいつでも本当のことをいいますが、ネズミ男はいつでもウソをつきます。あなたはそのどちらかに、一回だけ、『はい』か『いいえ』で答えられる質問をしなければなりません。二回以上質問をしても、二人とも答えてくれませんよ。では、ご成功を祈ります」
これを聞いたサダトは、こんなふうに考えた。
「おれは一回しか質問ができない。しかも鬼太郎かネズミ男だか区別できない相手に、質問するんだ。それじゃあ、答えがウソか本当だか、わからないじゃあないか。それでは知りたいことがわかるはずがない」
それでもサダトは、わかれ道につくまでに、うまい質問を思いついて、正しい道を知ることができた。
サダトは、誰だかわからない相手に、どんな質問をしたのだろうか?[→野崎昭弘、1976、『詭弁論理学』中公新書、14-15ページ改変。]
10.条件法と逆・裏・対偶
[授業目標]条件法の応用が出来る。逆・裏・対偶を習得する(次回小テスト)
「AならばB」という文に対して、「(Bでない)ならば(Aでない)」を対偶と言います。
「BならばA」を逆と言います。
「AでないならばBでない」を裏と言います。 |
「AならばB」が正しいとき、必ず対偶は正しくなります(正しくないとき、必ず対偶は正しくありません)。つまり対偶は元の命題と真偽に関して一蓮托生なのです。
それに対して逆・裏は必ずしも真とはなりません。 |
■空所を補充せよ。
まずは対偶が正しいことの確認。例として「その日が月曜日ならば、理髪店は休みだ」を考えます。対偶：「理髪店が休みではないならば、その日は月曜日でない」は、なぜ正しくなるのと言えるのでしょうか。
その日が月曜日ならば、理髪店は休みだ。①
その日は休みでない。②
上の二つの文①②が正しいとき、問題のその日は月曜日でしょうか。月曜日以外でしょうか。もしその日が月曜日ならば①から のはずです。しかし②から、その日は休みではありません。だとすれば矛盾が生じるわけですから、 から月曜日でない、と結論できます。というわけで、①が正しいときには、それと連動して、その対偶「理髪店が休みでないならば、その日は月曜日ではない」も正しいことになります。
※注意 一般的にいえば「AならばB」ならば、「(Bでない)ならば(Aでない)」となります。「(Bでない)ならば(Aでない)」の対偶は「AならばB」ですから、「(Bでない)ならば(Aでない)」ならば「AならばB」となります。したがって両者は論理的に、意味が等しくなります。
逆は必ずしも真ならず。
その日が月曜日ならば、理髪店は休みだ。①
だから、理髪店が休みならば、その日は月曜日だ。②
①は月曜日以外に理髪店が休みの日があるかどうかについては、何も述べていません。実際、第三日曜日とか、お盆とかは、休みです。ですから①が正しくとも、理髪店が休みだから、その日は月曜日だとは言えません。
というのも、「ならば」の否定のところで言及したように、一般に「AならばB」という条件法では、条件Aが満たされていない「Aでない」場合については、態度が明らかではないからです。「AならばB」のとき「AではなくてもBである」可能性があります。ですから「BならばA」と断定できないのです。
■上図において逆を赤紫、裏を深緑、対偶を紺で塗り分けよ(矢印の箇所)
。
〔問い〕例えば「物価が上がれば、電気使用料は上がる」としましょう。では、この命題の逆・裏・対偶がそれぞれ成り立つかどうか検討しなさい。
■空所を補充せよ。
裏というのは、
の対偶になっています。
「AならばB」の逆は「
」ですから、その対偶を取ると、
「AでないならばBでない」という裏になります。つまり
と裏は対偶関係にあるわけですから、論理的に意味が等しいということになります。
〔課題〕六歳未満で大人同伴でないならば、ジェットコースターに乗れない、の逆・裏・対偶を作ってください。以上と未満(不等号でちがいを復習しておきましょう)に注意。(六歳未満で大人同伴でない)の否定を作ります。
まずド・モルガンの規則を使って 、 。
未満でないを肯定的表現に置き換えると 、 。
したがって逆は、 。
裏は、 。
対偶は、 。
〔問い〕有望な人は勤勉であり、かつ信頼できる、の逆・裏・対偶を作ってください。
逆は、 。
裏は、 。
対偶は、
。
〔勉強のすすめ〕
さてところで、勤勉でない人や、または信頼できない人は、有望でないという文から、どのような情報が得られるでしょう。
勤勉でない人や、または信頼できない人は有望でないと前提します。とすると、対偶とド・モルガンの法則を用いて、有望なら勤勉で、かつ信頼できる人です。ここで有望な人と仮定します。
すると前件肯定式より、勤勉で、かつ信頼できる人が導かれます。連言取りを使うと、その人は勤勉な人となるでしょう。ここで条件法入れ※を使うと、先の前提の下で、有能な人は勤勉となります。これに対偶を使って、勤勉でない人は有能でないとなります。
※復習 条件法入れ：「A」を仮定して「B」が導かれるとき、「AならばB」と結論してよい。
| (AまたはB)ならばCが成り立つとき、AならばCを導いてもかまわない、ということです。 |
〔証明〕一般的な確認。(AまたはB)ならばCのとき、Cでないのならば(AでないかつBでない)。ここでCでないを仮定。するとAでなくかつBでない。連言取りよりAでない。したがって「条件法入れ」よりCでなければAでない。対偶を採って、AならばCである。故に(AまたはB)ならばCのとき、ゆえにAならばCである。
なおAならばC、BならばCのとき(AまたはB)ならばCが成り立ちます。
〔証明〕Cでないを仮定。AならばCの対偶より、CでないならAでない。Aでない。同様にBならばCの対偶よりBでない。故に連言入れより、AでなくかつBでない。ならば入れより、CでなければAでなくBでない。故に、対偶より(AでなくかつBでない)ないならばCである。ド・モルガンの法則より、AまたはBならばCである。
〔勉強のすすめ〕AならばB、AならばCのとき、Aならば(BかつC)と言えることを示せ。またAならば(BかつC)のとき、AならばBを導いてもかまわないことを示せ。
〔問い〕「文系の人は論理に弱い。O教授は論理に弱い。ゆえにO教授は文系である。」という推論が誤っている理由を述べなさい。
〔問い〕「日本が気の緩んだ平和な時代ならば、日本の犯罪件数は増加している」の前提、結論を検討し、この条件法の真偽を述べよ。「日本の犯罪件数が増加しているなら、日本は社会的不安が増す一方である」の前提、結論を検討し、この条件法の真偽を述べよ。ただし、「日本が気の緩んだ平和な時代である」は真、「日本は社会的不安が増す一方である」は偽とする。（日本の犯罪件数は増加しているかは、統計により自分で調べなさい）
〔問い〕「単位を修得しているなら、履修登録している」の逆は正しいか。
〔問い〕「インフレならば、物価が上がる。アベノミクスが成功しているならば、インフレである。物価が上がるなら、アベノミクスが成功している。」という推論が誤っている理由を述べなさい。
〔問い〕以下の命題の間に成り立つ推論のうち正しいものはどれか。
① カバならば、四本足でありかつ、哺乳類である。故にカバは哺乳類ある。
② 梅組の小学生ならば、12歳未満である。故に梅組の小学生は10歳以上かつ12歳未満である。
③ 花子か、または太郎が家に居るならば、電話が通じる。故に花子が家に居るならば電話が通じる。
④ 太郎がプレゼントをもらえば、我が家は喜ぶ。故に太郎がプレゼントをもらうか、または花子が合格すれば、我が家は喜ぶ。
11小テスト
〔課題〕
問1.次の推論の誤りを指摘せよ。塩酸は銀イオンの入った水溶液と反応し、白濁の塩化銀が出来る。ところで塩酸にある液体を入れたところ、白濁が出来た。ゆえにある液体には銀イオンが存在していた、と結論できる。
問2.ルート2が有理数であることを仮定して、矛盾が生じるから、ルート2は有理数でないことを背理法によって証明してください。
問3.「AかつB」が正しく言えているとき、「A」も と言えるし、「B」も と言えるということになりましょう。例えば「九鬼は大学の教員であり、かつ哲学を専攻している」から「九鬼は大学の教員である」と言えるでしょう。また「九鬼は大学の教員であり、かつ哲学を専攻している」から「九鬼は哲学を専攻している」とも言えるでしょう。これを図式化すれば 。
言うまでもなく「かつ取り」です。
問4.ブリもヒラメも好きである。その否定をド・モルガンの法則を使って、作りなさい。
問5.六歳未満で大人同伴でないならば、チケットを配布されない、の逆・裏・対偶を作りなさい。
問6.選言的三段論法 「AまたはB かつBでない ならば Aである」に合致する例を考えなさい。
12.推移律 AならばB BならばC のとき AならばC
[授業目標]条件連鎖の応用になれることができる
| AならばB BならばCの連鎖を組み合わせると、AならばCといった条件法を導き出すことができます。 |
〔問い〕空所を補充せよ。
例えば風が吹けばリンゴの枝が揺れる。リンゴの枝が揺れればリンゴが落ちるから
。
この推移律と先にやった対偶を、組み合わせると、複雑な推論ができます。
〔問い〕以下の推論のうち正しいものを選べ。
(1) 数学は総合的である。物理学は数学でない。それゆえ物理学は総合的ではない。
(2) 数学は総合的である。整数論は総合的である。それゆえ整数論は数学である。
(3) 数学は総合的である。論理学は総合的でない。それゆえ論理学は数学ではない。
ヒント：「数学は総合的である」とき「数学でなければ総合的でない」は裏
「数学は総合的である」とき「総合的ならば数学である」は逆
〔問い〕以下の推論は正しいか。
論理的な人は理屈っぽい。淡泊な人は理屈っぽくない。それゆえ淡泊な人は論理的ではない。 正・誤
論理的な人は理屈っぽい。理屈っぽくない人は淡泊である。それゆえ論理的でない人は淡泊である。 正・誤
〔問い〕以下の推論は正しいか。
カフェインには眠気を取る作用がある。お酒にはカフェインは含まれない。だからお酒には眠気を取る作用がない。
正・誤 ヒント：カフェインには眠気を取る作用がある、を言い換えれば、カフェインが含まれていれば眠気を取る作用がある、となる。ここから、カフェインが含まれていなければ眠気を取る作用がない、を導くのは妥当な推論か。 [→野矢茂樹、2006、『新版 論理トレーニング』産業図書、131ページより改変。]
〔勉強のすすめ〕
つまり①の裏、④はド・モルガンの法則より、犯罪でないならば犯罪の型に合致しないか、または違法でないとなります。④が正しければ、②・④を用いて、③を妥当に推論できます。
しかしながら今の場合、④は①の裏にすぎません。裏を推論連鎖の途中で使ってはいけませんから、これは妥当な推論とは言えません。実際、責任をもたないものの万引きは法に触れる行為です(ただし小学生の万引きには責任が帰せられない故に、犯罪ではありません)。
